В начало | Статьи | Книги | Связь
С. Сивец, кандидат технических наук, заслуженный эксперт-оценщик УОО (г. Запорожье, Украина)

Построение и практическое применение многофакторной гибридной модели оценки стоимости доходной недвижимости

Использование сравнительного подхода в практике оценки, в частности метода сравнения продаж, даёт наиболее объективную величину рыночной стоимости для регулярно продаваемых объектов. Но этот подход приемлем для объектов недвижимости, по которым имеется достаточное количество достоверной информации о недавних сделках купли-продажи.

Для успешного применения данного метода необходимо выполнение трёх основных условий:

В основном, при подборе аналогов и внесении поправок эксперты-оценщики руководствуются профессиональным опытом и интуицией, что является заведомо субъективным подходом. Привлечение современных статистических методов для обработки и анализа данных, используемых для сопоставления, позволяет снизить влияние субъективизма оценщика.

Для решения задач, связанных с обработкой и анализом статистической информации применяется мощный и гибкий арсенал методов математической статистики [1, 2, 4, 7, 8, 9]. Эти методы позволяют выявить закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей их выполнения или невыполнения. В последнее время статистические методы, а в частности методы корреляционного и регрессионного анализа, находят всё более широкое применение в оценочной деятельности [3, 5, 6], правда, пока больше в теоретических исследованиях, чем в практических. Оценщику, владеющему принципами, методами и навыками статистического моделирования, значительно легче обосновать результаты оценки, а также спрогнозировать рыночную стоимость на базе имеющихся данных.

Целью данного исследования являлось выявление наиболее существенных факторов, влияющих на формирование оценочной стоимости объектов недвижимости, и получение функционального уравнения, описывающего эту зависимость.

Выделим основные этапы исследования:

  1. Анализ исходных статистических данных;
  2. Спецификация модели (определение её структуры);
  3. Оценка параметров модели (калибровка модели) и анализ качества (адекватности) модели;
  4. Апробация модели;
  5. Улучшение модели (при необходимости).

Рассмотрим подробнее все перечисленные этапы на примере получения многофакторной регрессионной модели стоимости объектов нежилой недвижимости, встроенных (пристроенных) в жилые дома, расположенные в черте города.

1. Исходные данные для построения модели

Для проведения исследований нами были проанализированы данные по оценке приватизируемых объектов недвижимости за три года в одном из областных центров Украины. Из предоставленной информации были отобраны объекты, представляющие собой встроенные помещения, расположенные на первых этажах или в подвалах жилых домов, которые выкупались с целью использования под офис, магазин, аптеку, объект общепита, либо для иного способа получения дохода. Для каждого объекта были отобраны следующие сведения:

Данные были выписаны из паспортов-сертификатов приватизируемых объектов и дополнительно не проверялись. На этом этапе в выборку вошло 90 объектов.

2. Спецификация модели

Подробнее о подходе к построению спецификации модели мы рассказали в статье «Статистическая модель оценки стоимости объектов недвижимости». О требованиях же к исходной информации, предъявляемых применением методологии корреляционного анализа, мы упоминали в статье «Обзор возможности применения статистических методов в оценке недвижимости и бизнеса».

Вернёмся к нашему примеру. Для построения регрессионной модели стоимости (в US$) 1 м2 общей внутренней площади (этот показатель был выбран как результирующих фактор) были определены и рассчитаны следующие качественные и количественные факторные переменные:

В ходе анализа взаимосвязи перечисленных выше факторов с результирующим показателем отдельно анализировались качественные и количественные переменные.

Для качественных признаков были построены таблицы сопряжённости, с помощью которых определялась их взаимосвязь со значением результирующей переменной. Для этого весь интервал значений стоимости 1 м2 внутренней площади был разбит на 4 равных интервала:

После этого рассчитывалось, сколько значений каждой бинарной переменной попадает в каждый из интервалов стоимости.

В таблицах 1 и 2 приводятся данные о распределении выборочных данных в зависимости от значений качественных факторов (местоположения и функционального назначения).

Таблица 1. Таблица сопряжённости факторов стоимости и местоположения
Стоимость
1 м2, US$
МестоположениеСумма
Зона 4Зона 3Зона 2Зона 1
[28; 68)333211
[68; 108)181511246
[108; 148)1771025
[148; 188]62008
Сумма442715490
Таблица 2. Таблица сопряженности факторов стоимости и функционального назначения
Стоимость
1 м2, US$
Функциональное назначениеСумма
офисное помещениеторговoе помещениепредприятие общественного питанияпредприятие службы быта
[28; 68)531211
[68; 108)19164746
[108; 148)695525
[148; 188]15208
Сумма3133121490

Для определения наличия и тесноты связи с результирующей переменной каждого качественного факторного признака по таблицам сопряжённости были рассчитаны коэффициенты Пирсона и Чупрова. Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3. Ранговые коэффициенты корреляции
Название коэффициентаКачественный фактор
МестоположениеФункциональное
назначение
Коэффициент Пирсона0,4640,360
Коэффициент Чупрова0,2820,207

Следует отметить, что максимальное значение коэффициента Пирсона для таблицы сопряжённости размерности равно 0,866. Оно соответствует ситуации, когда ненулевые значения находятся только на диагонали таблицы. Так как рассчитанные коэффициенты Пирсона принимают приблизительно средние значения, то можно сделать вывод, что между стоимостью 1 м2 рассматриваемой доходной недвижимости и местоположением, а также функциональным назначением объекта существует зависимость, тесноту которой можно оценить на среднем уровне.

Для количественной оценки степени связи между результирующим признаком и количественными факторами нами были рассчитаны коэффициенты парной корреляции между соответствующими показателями (таблица 4).

Таблица 4. Парные коэффициенты корреляции
Количественный факторКоэффициент корреляции
со стоимостью 1м2
общей внутренней
площади в US$
1Доля подвала−0,264
2Возраст здания на момент оценки0,243
3Общая внутренняя площадь, м2−0,237
4Отношение наружной и внутренней площадей0,215
5Средняя высота помещения0,186
6Средневзвешенный физический износ−0,477
7Курс US$/грн. на дату оценки0,052
8Стоимость улучшение на 1 м2, US$0,561
9Коэффициент инженерного обеспечения0,372

В результате анализа, для построения модели были отобраны переменные, влияние которых на значение результирующей переменной было наиболее существенным. Из количественных переменных таковыми оказались (в порядке убывания степени связи): стоимость улучшения на 1 м2, величина средневзвешенного физического износа, коэффициент инженерного обеспечения, доля подвала и возраст здания на момент оценки. Также было принято решение, что оба качественных признака (местоположение и функциональное назначение) оказывают значимое влияние на результирующий показатель. В модель они вошли в виде двух наборов бинарных переменных.

После того, как были выявлены наиболее существенные факторы, влияющие на стоимость рассматриваемых объектов, встал вопрос о подборе вида функциональной зависимости, т. е. виде многофакторной регрессионной модели. От правильности этого выбора зависит, насколько построенная модель будет адекватна изучаемому явлению, т. е. будет ли она соответствовать ему при заданном уровне точности, что в свою очередь, предопределяет практическую ценность получаемых результатов.

Запас кривых для описания статистических данных, которыми располагает математический анализ, бесконечно разнообразен. Для выбора той из них, которая наиболее адекватна не только имеющемуся эмпирическому материалу, но и истинной зависимости между изучаемым показателем и обуславливающими его факторами, исходят из соображений самого различного характера — логического, графического и статистического.

При прочих равных условиях предпочтение отдается модели, зависящей от меньшего числа параметров, т. к. для их оценки требуется меньшее количество эмпирических данных.

На практике наибольшее распространение получили аддитивные модели (1), в которых влияния различных объясняющих факторов складываются.

(1)(1)y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βmxm + u,

В практике оценки наряду с аддитивными моделями широко используются мультипликативные (2) модели.

(2)(2)y = β0 · x1β1 · K · xjβj · βj+1xj+1 · K · βKxK · u,

В мультипликативной модели переменные не умножаются на свои коэффициенты. Вместо этого они либо возводятся в степени, либо сами служат в качестве показателя степени, а результаты затем перемножаются. Случайная составляющая u также входит в модель мультипликативно. Для оценки параметров мультипликативной модели её сначала необходимо преобразовать к аддитивному виду путём логарифмирования, а затем применить метод наименьших квадратов. Модель (2) после логарифмирования имеет вид:

(3)(3)ln y = ln β0 + β1ln x1 + K + βjln xj + xj+1ln βj+1 + K + xKln βK + ln u,

Более сложный вид имеют гибридные модели (4), которые сочетают в себе аддитивные и мультипликативные компоненты. Гибридная модель даёт оценщику большую свободу, что позволяет ему строить более качественные и содержательные модели.

(4)(4)y = (β0 + β1x1 + β2x2 + … + βjxj)α1 · xj+1α2 · K · xKβkj · βk+1xk+1 · K · βmxm · u,

Однако в гибридных моделях нельзя получать оценки параметров непосредственно с помощью метода наименьших квадратов. Для каждой модели приходится искать подходящий способ оценки параметров, один из таких способов будет рассмотрен далее на примере построения модели стоимости доходной недвижимости.

Если же невозможно сразу сделать уверенный выбор какой-либо одной функции, то отбирают несколько функции, рассчитывают их параметры и далее, используя соответствующие критерии качества модели, окончательно выбирают функциональный вид исследуемой зависимости.

3. Оценка параметров и анализ адекватности модели

Построение модели производилось прямым пошаговым методом.

На первом этапе параллельно пошагово строились две модели с количественными факторными переменными: аддитивная и мультипликативная. На каждой итерации пошагового метода выполнялись следующие действия: методом наименьших квадратов оценивались значения параметров модели (с использованием пакета электронных таблиц Microsoft Excel™), анализировались статистическая значимость коэффициента при переменной, введенной на данной итерации, и значение скорректированного коэффициента множественной детерминации. Если оказывалось, что переменную стоит вводить в модель, то проводился анализ остатков на наличие выбросов. Наблюдения, соответствующие остаткам, классифицированным как выбросы, удалялись. Для оставшихся наблюдений оценивались значения коэффициентов регрессии, после чего переходили к следующей итерации. В результате были построены две модели, в которые вошли четыре количественные переменные (все, которые предполагались изначально, кроме возраста здания на момент оценки). Сравнение полученных моделей показало, что аддитивная модель имеет лучшие показатели адекватности модели, в частности более высокий коэффициент множественной детерминации, чем мультипликативная модель. В таблице 5 приведены результаты регрессионного анализа для аддитивной модели с четырьмя количественными переменными.

Таблица 5. Результаты регрессионного анализа, представленные в форме Microsoft Excel™
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R0,816
R-квадрат0,665
Нормированный R-квадрат0,644
Стандартная ошибка14,889
Наблюдения69
Дисперсионный анализ
 dfssMSFЗначимость F 
Регрессия428211,557052,8931,8171,36E−14 
Остаток6414187,12221,674   
Итого6842398,67    
 КоэффициентыСтандартная ошибкаt-статистикаP-ЗначениеНижние 95%Верхние 95%
Y-пересечение96,1339,60710,0061,03E−1476,94115,326
X1−74,35224,166−3,0770,003−122,628−26,075
X20,4829,60710,0061,03E−1476,94115,326
X3−7,3355,256−1,3960,168−17,8353,164
X420,7439,8642,1030,0391,03740,45

Из данных, представленных в таблице 5, видно, что после отбраковки наблюдений, которые порождают выбросы, из 90 наблюдений осталось 69.

Таким образом, результат выполнения первого этапа можно представить в следующем виде:

(5)(5)
ŷ =96,13 −74,35x1 +0,48x2 −7,33x3 +20,74x4
(9,61) (24,16) (0,08) (5,25) (9,86) 

где:

В скобках под коэффициентами уравнения приведены соответствующие среднеквадратические отклонения. Если стандартное отклонение превышает соответствующий модуль оценки параметра, то это означает смещённость полученной оценки параметра. В нашем случае полученные оценки оказались несмещёнными.

Адекватность построенной модели можно определить проанализировав остатки модели при помощи специальных статистических тестов. Остатки вычисляются как разница между фактическими значениями результирующей переменной y и значениями этой переменной, вычисленными при помощи модели.

Чтобы проверить, имеет ли распределение остатков неслучайный характер, используется статистический тест Дарбина-Уотсона [4]. Результаты проведения этого теста показали отсутствие автокорреляции в построенной регрессионной модели. А это, в свою очередь, подтвердило наши предположения о включённых в модель факторах.

Количественным показателем адекватности также служит коэффициент детерминации R2, который показывает долю дисперсии, объясняемой данной моделью в общей дисперсии. Для полученной модели коэффициент детерминации равен 0,67. Таким образом, полученная модель (5) приблизительно на 67% объясняет изменение стоимости, что является довольно неплохим показателем. Мы учли также тот факт, что наличие в модели большого числа факторов может вызвать необоснованный рост коэффициента детерминации. Для устранения этого недостатка рассчитывается скорректированный коэффициент детерминации, в нашем случае он равен 0,64, т. е. за счёт поправки величина коэффициента детерминации существенно не уменьшилась.

Кроме этого, нами были проверены гипотезы о статической значимости коэффициентов в уравнении регрессии (5). Все коэффициенты, кроме коэффициента при переменной x3, оказались статически значимыми. Это означает, что переменная x3 (доля подвальных помещений в общей площади) не оказывает существенного влияния на формирование стоимости объекта. Следовательно, можно сделать вывод, что не все эксперты учитывают факт расположения оцениваемых объектов в подвалах.

На втором этапе в модель включались качественные переменные. При этом строились три модели: аддитивная, мультипликативная и гибридная. Построение производилось пошаговым методом, однако в отличие от первого этапа, дальнейшая отбраковка выбросов не производилась.

Остановимся на построении гибридной модели. В эту модель количественные переменные входят аддитивно, а качественные переменные — мультипликативно. Для оценки значения регрессионных коэффициентов гибридной модели формировалась искусственная факторная переменная — её значения вычислялись по уравнению (5). Затем строилась мультипликативная модель, в которую в качестве первой переменной включалась искусственная переменная, а затем, пошагово, все качественные переменные. В результате была получена следующая гибридная модель:

(6)(6)ŷ = (96,13 − 74,35x1 + 0,48x2 − 7,33x3 + 20,74x4) 1,0016 · (1,17)x5 · (1,18)x6 · (0,82)x7 · (0,87)x8 · (0,88)x9,

где:

Основные показатели адекватности полученной модели в линеаризованном виде:

Эта модель оказалась лучше аддитивной и мультипликативной моделей, о чём свидетельствует рост скорректированного коэффициента детерминации с 0,64 до 0,71.

Никакая регрессионная модель не может быть точным отражением действительности. Формализация реальных зависимостей всегда связана с упрощениями. Поэтому в процессе анализа должно быть выявлено соответствие полученной модели реальной зависимости, должны быть найдены пути улучшения модели и определены возможности практической реализации достигнутых результатов.

4. Апробация модели

Построенная модель прошла апробацию на реальных объектах. Нам удалось добиться величины средней ошибки аппроксимации гибридной модели (6) на уровне 10%, что является, в принципе, неплохим результатом.

Конечным продуктом наших исследований является модель, позволяющая рассчитать стоимость объекта по его характеристикам, получать так называемый точечный прогноз. Причём, полученная при этом стоимость является наиболее вероятной, т. к. влияние случайных факторов уменьшено. Точность этой оценки зависит от двух факторов: достоверности и представительности базы данных и адекватности модели.

Кроме точечного, можно вычислить интервальный прогноз стоимости объекта недвижимости. Для этого рассчитывается числовой интервал, в который с определённой, достаточно высокой вероятностью, попадает истинное значение рыночной стоимости оцениваемого объекта. Имея такой интервальный прогноз, эксперт получает нижнюю и верхнюю границы стоимости. Этого, конечно, недостаточно, чтобы сделать окончательное заключение о стоимости. Но в тоже время, полученные данные являются хорошим подспорьем для проверки результатов расчёта стоимости классическими методами экспертной оценки.

Для иллюстрации того, как проводилась апробация модели, а также для описания процедуры определения стоимости объекта недвижимости с помощью полученной регрессионной модели, приведём пример.

Оценим с помощью модели объект недвижимости, имеющий следующие характеристики:

Подставляя значение характеристик в уравнение модели (6), получим:

ŷ = (96,13 − 74,35·0,26 + 0,48·39,5 + 20,74·0,491)1,0016 · (0,87)1 = 92,86 (US$)

Таким образом, с помощью регрессионной модели была получена величина стоимости 1 м2 объекта оценки — 92,86 US$.

В результате оценки этого объекта классическими методами экспертной оценки была получена стоимость 1 м2, равная 90,55 US$.

Вычислим относительную погрешность оценки с помощью регрессионной модели:

ε = ((92,86 − 90,55) ÷ 90,55) · 100% = 2,55%.

Полученное значение погрешности свидетельствует о высоком качестве прогноза. Для полноты анализа необходимо построить доверительный интервал прогнозной стоимости. Построение интервального прогноза для гибридной модели до настоящего времени не имеет теоретического статистического обоснования. Мы предлагаем строить интервальный прогноз для аддитивной части традиционными методами, а затем, используя границы полученного интервала как прогнозные значения искусственной переменной, строить два интервальных прогноза по линеаризированной гибридной модели. Окончательный интервальный прогноз будет объединением этих двух интервалов.

Интервальный прогноз для аддитивной модели рассчитываем по формуле:

(7)(7)ŷадд − σu·tα,m ≤ yадд ≤ ŷадд + σu·tα,m ,

где:

Дисперсия остатков для аддитивной модели равна σu2 = 221,67, тогда σu = 0,136. Табличное значение t0,1;67 = 1,668. Получим точечный прогноз для аддитивной части модели:

ŷ = 96,13 − 74,35·0,26 + 0,48·39,5 + 20,74·0,491 = 105,94 (US$)

Тогда интервальный прогноз для аддитивной части будет иметь вид:

105,94 − 14,89·1,668 ≤ yадд ≤ 105,94 + 14,89·1,668

или:

81,1 ≤ yадд ≤ 130,78

Построим интервальный прогноз для нижней границы полученного интервала. Для мультипликативной модели σu2 = 0,01865, тогда σu = 14,89. Получаем интервальный прогноз для нижней границы интервала:

81,1·0,87 − 0,136·1,668 ≤ ymin ≤ 81,1·0,87 + 0,136·1,668

или:

70,33 ≤ ymin ≤ 70,78

Аналогично построим интервал для верхней границы:

130,78·0,87 − 0,136·1,668 ≤ ymax ≤ 130,78·0,87 + 0,136·1,668

или:

113,55 ≤ ymax ≤ 114,01

Объединяя два полученных интервала, получаем окончательный интервальный прогноз [70,33; 114,01]. С вероятностью 0,9 истинное значение стоимости в US$ 1 м2 оцениваемого объекта находится в этих границах. Как мы уже отмечали, в результате проведённых расчётов оценщик получает нижнюю и верхнюю границы стоимости объекта оценки. Если же в результате применения других методов оценки оценщик получил величину стоимости не попадающую в данный интервал, то это должно послужить ему информацией для размышления.

Величина интервального прогноза зависит от качества и количества исходной статистической информации. Если окажется, что полученный интервал довольно велик, то можно порекомендовать увеличить объём выборки, более строго проверить данные на наличие выбросов и провести калибровку модели заново.

В заключение отметим, что построение регрессионных моделей — длительный и трудоёмкий процесс. Очень редко первая выбранная спецификация зависимости даёт хорошие по всем параметрам результаты. Обычно приходится постепенно подбирать формулу связи и состав факторных переменных, анализируя на каждом этапе качество полученной зависимости. Анализ качества обязательно должен включать кроме расчёта статистических показателей и критериев адекватности ещё и анализ логического смысла полученного уравнения регрессии. А именно, действительно ли значимыми оказались факторные переменные, важные с точки зрения теории; положительны или отрицательны коэффициенты, показывающие направление воздействия этих факторов; попали ли рассчитанные значения коэффициентов регрессии в предполагаемые по теоретическим соображениям интервалы. Процесс построения регрессионных моделей — это искусное балансирование между экономической теорией, доступностью данных, предварительными идеями, основанными на логических и теоретических предположениях, и, конечно, статистической теорией.

Литература

  1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. «Прикладная статистика: исследование зависимостей. / Справочное издание под ред. Айвазяна С.А. — М.: «Финансы и статистика», 1985. — 471 с.
  2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. «Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных». / Справочное издание под ред. Айвазяна С.А. — М.: «Финансы и статистика», 1983. — 471 с.
  3. Грибовский С.В. «Оценка доходной недвижимости». — СПб: «Питер», 2001. — 336 с.
  4. Доугерти К. «Введение в эконометрику» / Пер. с англ. — М.: «ИНФРА», 2001. — 402 с.
  5. «Оценка стоимости предприятия (бизнеса): Учебное пособие» / Под ред. Абдулаева Н.А., Колайко Н.А. — М.: «ЭКМОС», 2000. — 352 с.
  6. «Оценка стоимости предприятия (бизнеса): Учебное пособие» / Под ред. Абдулаева Н.А., Колайко Н.А. — М.: «ЭКМОС», 2000. — 352 с.
  7. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. «Статистический анализ данных на компьютере» / Под ред. Фигурнова В.Э. — М.: «ИНФРА», 1998. — 528 с.
  8. Фёрстер Э., Рёнц Б. «Методы корреляционного и регрессионного анализа: Руководство для экономистов». — М.: «Финансы и статистика», 1983. — 302 с.
  9. «Эконометрика: Учебник» / Под ред. Елисеевой И.И. — М.: «Финансы и статистика», 2001. — 344 с.
См. также:
В начало | Статьи | Книги | Связь

© ООО Центр «БИЗНЕСИНФОРМ», 2003-2015